User:Malokai92/math

Law of Cosines

$$C^2=x^2+y^2$$

$$x=A_x+B_x$$

$$y=A_y+B_y$$

$$A_x=C_1cosA$$

$$B_x=C_2cosB$$

$$A_y=C_1sinA$$

$$B_y=C_2sinB$$

$$x=C_1cosA+C_2cosB$$

$$y=C_1sinA+C_2sinB$$

$$C^2=(C_1cosA+C_2cosB)^2+(C_1sinA+C_2sinB)^2$$

$$=[(C_1cosA)^2+2C_1cosAC_2cosB+(C_2cosB)^2]+[(C_1sinA)^2+2C_1sinAC_2sinB+(C_2sinB)^2]$$

$$=(C_1)^2cos^2A+(C_1)^2sin^2A+2C_1cosAC_2cosB+2C_1sinAC_2sinB+(C_2)^2cos^2B+(C_2)^2sin^2B$$

$$=(C_1)^2(cos^2A+sin^2A)+2C_1C_2(cosAcosB+sinAsinB)+(C_2)^2(cos^2B+sin^2B)$$

$$C^2=(C_1)^2+(C_2)^2+2C_1C_2(cosC)$$

Note: $$cosC=cos(A+B)=cosAcosB+sinAsinB$$